Der Definitionsbereich einer Funktion $f$ ist die Menge aller Zahlen $x$, denen die Funktion einen Funktionswert $f(x)$ zuordnet. Wir wollen eine kleine Funktion $f$ gemäß dem folgenden Diagramm definieren:
Wir lesen folgende Funktionswerte ab:
$$f(1)=3, f(2)=5, f(3)=3, f(4)=7, f(5)=1$$
Die Definitionsmenge $D$ ist also: $D=\{1;2;3;4;5\}$
Definitionsmenge einer Zuordnungsvorschrift
Meistens wird eine Funktion durch Angabe einer Zuordnungsvorschrift definiert, die vielen Zahlen gleichzeitig einen Funktionswert zuordnet. Betrachten wir die folgende Funktion:
$$f(x)=\sin(x)\cdot e^{2x}$$
Was ist hier der Definitionsbereich? Wenn nicht anders angegeben, vereinbaren wir: Der Definitionsbereich umfasst alle Zahlen, für die der Funktionsterm einen Wert berechnen kann. In diesem Fall ist $D=\mathbb R$, denn für jede reelle Zahl gibt es einen Sinuswert und eine e-Potenz.
Die Definitionsmenge ist also immer die größtmögliche Menge, die mit diesem Funktionsterm möglich ist. Wir geben nun die wichtigsten Beispiele, bei denen nicht jede reelle Zahl zum Definitionsbereich gehören kann.
Einschränkung: Nullstellen des Nenners
Die wichtigste Einschränkung der Definitionsmenge ist: Man kann nicht durch 0 teilen. Deshalb können Nenner nicht den Wert 0 annehmen. Wir betrachten die folgende Funktion:
$$f(x)=\frac{2x}{(x-1)\cdot(x+3)}$$
Was ist $f(1)$? Wir müssten rechnen:
$$f(1)=\frac{2\cdot 1}{(1-1)\cdot(1+3)}=\frac 20$$
Der Ausdruck $\frac 20$ ist nicht definiert. Warum eigentlich nicht? Wir stellen uns vor, es wäre zum Beispiel $\frac 20=7$. Dann müsste umgekehrt auch gelten: $7\cdot 0=2$. Das stimmt natürlich nicht, und dieses Argument gilt auch für jede andere reelle Zahl als 7. Salopp gesagt: Man kann eine Zahl nicht durch 0 teilen, weil es kein Ergebnis gibt, das man mit 0 multiplizieren könnte, so dass diese Zahl wieder rauskommt. Die reellen Zahlen sind nullteilerfrei.
Deshalb werden die Nullstellen aller Nenner im Funktionsterm aus dem Definitionsbereich ausgenommen. Wir schreiben in unserem Beispiel:
$$D=\mathbb R\setminus\{1;-3\}$$
Den „Backslash“ lesen wir als „ohne„.