In der Analysis beschreiben wir Zusammenhänge zwischen verschiedenen Größen – also Dingen, die wir messen, zählen, wiegen oder sonst irgendwie mit einem Wert versehen können. Solche Zusammenhänge können sein:
- Geschwindigkeit eines Fahrzeugs –> zurückgelegte Fahrstrecke
- Höhe über dem Meeresgrund –> Luftdruck in der Atmosphäre
- Tag des Jahres –> Tageslänge in Stunden
Die erste Größe wird frei gewählt (unabhängig), und die zweite Größe ist dadurch eindeutig bestimmt. Wir sagen: Die zweite Größe ist abhängig. Der wichtige Begriff, um solche Abhängigkeiten zu beschreiben, ist die Funktion.
Eine Funktion ist eine Zuordnung f, die jeder Zahl x aus einer bestimmten Menge einen eindeutigen Funktionswert f(x) zuordnet.
- Die Zahlen, denen die Funktion einen Wert zuordnet, bilden die Definitionsmenge. Ein Element x des Definitionsbereichs wird auch als Stelle bezeichnet.
- Die Zahlen, die als Funktionswert auftreten, bilden die Wertemenge.
Das ist erstmal eine ziemlich trockene Definition, die wir nun ganz schnell mit Leben füllen wollen.
Ein Snackautomat als Funktion f
Ein Snackautomat kann dem Nutzer Schokoriegel und andere Snacks liefern. Der Nutzer wählt eine Nummer auf dem Tastenfeld, und der Automat liefert abhängig davon einen Snack aus dem entsprechenden Fach:
| Fach-Nummer x | Snack f(x) |
|---|---|
| 1 | Schokoriegel |
| 2 | Schokoriegel |
| 3 | Müsliriegel |
| 4 | Erdnüsse |
| 5 | Chips |
Fach-Nummer als Variable x
Die Nummer des Fachs ist eine variable Zahl x, die der Benutzer aus einer Menge von Zahlen auswählen kann. Diese Zahlen bilden die Definitionsmenge der Funktion f. Eine Zahl $x$ aus der Definitionsmenge heißt eine Stelle.
Wenn der Benutzer eine Zahl x aus der Definitionsmenge wählt, liefert der Snackautomat den entsprechenden Snack $f(x)$, sprich: „f von x“. $f(x)$ ist also die Snacksorte, die im Fach $x$ liegt.
Wird eine Zahl gewählt, die nicht zum Definitionsbereich von f gehört, wie z.B. $x=7$, passiert nichts. Der Ausdruck $f(7)$ ist nicht definiert und hat keine Bedeutung.
Snack als Funktionswert f(x)
Zu jeder Fach-Nummer x ist eindeutig definiert, welcher Snack $f(x)$ sich darin befindet. Der einer Nummer $x$ zugeordnete Snack $f(x)$ heißt der Funktionswert an der Stelle x. Durch Auswahl der Nummer weiß der Nutzer, welchen Snack er bekommen wird. Für x=1 ist zum Beispiel $f(x) = \text{Schokoriegel}$. Etwas kürzer können wir schreiben:
- f(1) = Schokoriegel
- f(4) = Erdnüsse
Es ist kein Problem für eine Funktion, wenn verschiedene Fächer den gleichen Snack liefern. Zum Beispiel gilt beim Snackautomat:
$$f(1)=f(2)=\text{Schokoriegel}$$
Die Menge aller verfügbaren Snacks nennen wir die Wertemenge:
$$W=\{\text{Schokoriegel},\text{Müsliriegel},\text{Erdnüsse},\text{Chips}\}$$
Formulierungshilfen für Funktionen
Der Snackautomat ist natürlich noch keine sehr mathematische Funktion. Wir können noch nichts rechnen, aber wir können schon den Umgang mit den Begriffen rund um das Thema Funktion üben. So können wir zu unserer Snackautomat-Funktion schon Sätze wie die folgenden schreiben:
- Der Funktionswert von $f$ an der Stelle $x=4$ ist $f(x)=\text{Erdnüsse}$.
- Es gibt kein $x$ mit $f(x)=\text{Schokoküsse}$, also gehören Schokoküsse nicht zur Wertemenge von $f$.
- $f(2)=\text{Schokoriegel}$.
- Aus $f(x)=\text{Schokoriegel}$ folgt $x=1$ oder $x=2$.
- Daraus folgt: Die Funktion $f$ ist nicht umkehrbar, denn an einem entnommenen Schokoriegel kann man nicht erkennen, in welchem Fach er ursprünglich war. (Mehr über umkehrbare Funktionen gibt es auf der Seite Umkehrfunktionen.)
Wenn du solche Sätze verstehen und auch formulieren kannst, wird dir das bei „richtigen“ mathematischen Funktionen eine große Hilfe sein. Und deine Mathelehrerin oder dein Mathelehrer wird beim Lesen deiner Klausur Freudentänze machen.
Und damit wir auch endlich was zu rechnen haben, folgt gleich das nächste Beispiel einer Funktion. Damit wir sie von der schon vorhandenen Funktion f unterscheiden können, nennen wir sie g.
Ein Stromvertrag als Funktion g
Wer zuhause Strom verbraucht, zahlt an den Stromanbieter einen Grundpreis. Dieser Grundpreis ist jährlich unabhängig vom Stromverbrauch zu bezahlen. Außerdem wird pro verbrauchter Kilowattstunde ein Arbeitspreis berechnet.
Die Funktion g soll für jeden möglichen Stromverbrauch pro Jahr die jährlichen Kosten bestimmen, die der Nutzer zu bezahlen hat. Schon an dieser Stelle wird wieder klar, warum Funktionswerte eindeutig sein müssen. Zu einer bestimmten Verbrauchsmenge soll eben eindeutig definiert sein, wie viel dieser Verbrauch kostet.
Unser Beispiel-Stromvertrag hat folgende Eckdaten:
- Der Grundpreis beträgt 180 € pro Jahr.
- Zusätzlich ist ein Arbeitspreis von 0,27 € pro kwH zu bezahlen.
Die Funktionsgleichung des Stromvertrags
Die Funktion soll zu jedem Stromverbrauch x die Kosten berechnen. Wir wollen dies exemplarisch für einige Verbrauchswerte tun:
- Für x = 2000 kwH pro Jahr betragen die Kosten $g(2000) = 180 + 2000\cdot 0,27\ € = 720\ €$.
- Für x = 2500 kwH pro Jahr betragen die Kosten $g(2500) = 180 + 2500\cdot 0,27\ € = 855\ €$.
- Für x kwH pro Jahr betragen die Kosten $g(x)=180+x\cdot 0,27\ €$.
Mit der letzten Zeile haben wir die Stromkosten für jeden beliebigen Stromverbrauch festgelegt, indem wir eine Funktionsgleichung notiert haben, die den Stromverbrauch in Abhängigkeit von x berechnet. Diese sortieren wir noch ein wenig um:
$$g(x)=0,27x+180$$
Und nun erkennen wir sie als lineare Funktion mit Steigung 0,27 und y-Achsenabschnitt bei y=180.
Der Definitionsbereich von g
Beim Snackautomaten war der Definitionsbereich klar: Es gibt 5 Fächer, diese bilden die Definitionsmenge. Bei der Stromkostenfunktion g haben wir die Kosten für einen variablen Verbrauch $x$ mit einem Term für $f(x)$ festgelegt. Aber welche Werte soll $x$ annehmen dürfen?
Für die Festlegung der Definitionsmenge einer Funktion sind zwei Dinge wichtig:
- Für welche $x$ kann der Term überhaupt einen Funktionswert $g(x)$ berechnen? Hier wäre rechnerisch jede reelle Zahl $x$ möglich. Deshalb legen wir üblicherweise fest, dass der maximal mögliche Definitionsbereich gewählt wird. Ein Beispiel für eine Funktion, die nicht für jede reelle Zahl definiert ist, wäre $h(x)=\frac 1x$. Mehr dazu im Abschnitt Definitionsbereich einer Funktion.
- Bei Anwendungsaufgaben kommt noch der berühmte Sachzusammenhang hinzu. Ein Stromverbrauch und ein Rechnungsbetrag ist üblicherweise eine nichtnegative Zahl. Negative Verbräuche und negative Kosten sollen hier keine Rolle spielen. Deshalb enthält der Definitionsbereich hier alle reellen Zahlen größer oder gleich 0. Das können wir auf verschiedene Weise notieren:
$$D=\mathbb{R}_{\ge 0}=\{\ x\in\mathbb{R}\ |\ x\ge 0\ \}=[0;\infty[$$
Der Wertebereich von g
Und welche Funktionswerte, also Rechnungsbeträge können auftreten? Intuitiv betrachtet findet man sicher zu jedem Rechnungsbetrag y einen Stromverbrauch x, der zu diesem Betrag führt. Das können wir nachrechnen, indem wir die Gleichung $y=0,27x+180$ nach $x$ umstellen:
$$x=\frac{y-180}{0,27}$$
Also ist der Wertebereich $W=\mathbb{R}_{\ge 0}$.
Leider lassen sich aber meisten Funktionsgleichungen nicht einfach so nach $x$ auflösen, weil die meisten Funktionen eben nicht umkehrbar sind. Deshalb müssen wir uns bei der Bestimmung des Wertebereichs üblicherweise anders behelfen.
Wir bestimmen den größten und kleinsten Funktionswert der Funktion und vertrauen dann darauf, dass alle Zahlen dazwischen dann auch als Funktionswert vorkommen. Zum Glück sind alle Funktionen, die wir in der Schule untersuchen, stetig* und erfüllen damit den Zwischenwertsatz, der genau das Vorkommen dieser Funktionswerte garantiert.
Langer Rede kurzer Sinn: Den Wertebereich einer Funktion kennen wir üblicherweise erst ganz am Ende einer Funktionsuntersuchung, wenn wir die Extrempunkte kennen sowie das Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs.
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*Was ist eine stetige Funktion? Ganz anschaulich betrachtet ist eine Funktion stetig, wenn man ihren Funktionsgraphen zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen. Eine stetige Funktion macht keine Sprünge.
Das ist natürlich weit entfernt von einer mathematischen Definition. Wie will man denn damit beweisen, dass eine Funktion stetig ist? Aber es ist zumindest schonmal eine Anschauung.
Etwas mathematischer können wir Stetigkeit an einer fest gewählten Stelle $x_0$ so beschreiben: Wenn man sich dieser Stelle $x_0$ beliebig nahe mit einer Zahlenfolge von Stellen annähert, dann nähern sich die Funktionswerte dieser Stellen auch dem Funktionswert $f(x_0)$ an. Das ist eben nicht erfüllt, wenn die Funktion an dieser Stelle einen Sprung macht, so dass der Funktionswert $f(x_0)$ ganz woanders ist.
Um es ganz genau zu formulieren, müssten wir noch einige Dinge über Folgen und Grenzwerte wissen, aber für die Schule reicht das, zumal alle untersuchten Funktionen sowieso stetig und sogar differenzierbar (das ist noch strenger) sind.